Question

隨著我國登月計(jì)劃的實(shí)施，我國宇航員登上月球已不是夢想．假如我國宇員登上月球并在月球表面附近以初速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)時(shí)間t后回到出發(fā)點(diǎn)．已知月球的半徑為R．萬有引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量；            
（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應(yīng)獲得的速度；
（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的繞行周期．

Answer 1

分析：（1）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=

2v0

g月

求出月球表面的重力加速度，物體在月球表面上時(shí)，由重力等于地月球的萬有引力求出月球的質(zhì)量．
（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小．
（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力求得繞行周期．

解答：解：（1）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：t=

2v0

g月

解得：g_月=

2v0

t

物體在月球表面上時(shí)，由重力等于地月球的萬有引力得：

Gm月m

R2

=mg_月
m_月=

2v0R2

Gt

（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度，
所以

Gm月m

R2

=

mv2

R

v=

2Rv0 t

（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力得：
mg_月=

m?4π2R

T2

=m

2v0

t

T=π

2Rt v0

答：（1）月球的質(zhì)量是

2v0R2

Gt

；            
（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應(yīng)獲得的速度是

2Rv0 t

；
（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的繞行周期是π

2Rt v0

．

點(diǎn)評：本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬有引力提供向心力．
重力加速度g是聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．