Question

如圖所示，在xOy坐標(biāo)系第二象限內(nèi)有一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，半徑為l₀，圓心O'坐標(biāo)為（-l₀，l₀），磁場(chǎng)方向垂直xOy平面．在x軸上有坐標(biāo)（-l₀，0）的P點(diǎn)，兩個(gè)電子a、b以相同的速率v沿不同方向從P點(diǎn)同時(shí)射人磁場(chǎng)，電子a的入射方向?yàn)閥軸正方向，b的入射方向與y軸正方向夾角為θ

π

3

．電子a經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從y軸上的 Q（0，l₀）點(diǎn)進(jìn)人第一象限，在第一象限內(nèi)緊鄰y軸有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為

mv2

el0

，勻強(qiáng)電場(chǎng)寬為

2

l0．已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e，不計(jì)重力及電子間的相互作用．求：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）a、b兩個(gè)電子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)后到達(dá)x軸的坐標(biāo)差△x；
（3）a、b兩個(gè)電子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)x軸的時(shí)間差△t．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知電子的運(yùn)動(dòng)半徑，由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）電子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，其中b粒子離開(kāi)電場(chǎng)后做直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可求得兩電子到達(dá)x軸上的坐標(biāo)值，進(jìn)而求得坐標(biāo)差；
（3）分別求出兩電子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的時(shí)間，即可求得兩電子從P運(yùn)動(dòng)到x軸的時(shí)間差．

解答：解：（1）兩電子軌跡如圖．

由圖可知，a電子作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=l₀       
Bve=m

v2

R

               
可得：B=

mv

el0

；
（2）在電場(chǎng)中y=

1

2

at₁²；
a=

eE

m

                  

2

l₀=vt₁              
可得y=l₀，即a電子恰好擊中x軸上坐標(biāo)為

2

l₀的位置     
根據(jù)幾何分析，PO?AO″為菱形，所以PO?與O″A平行．又因?yàn)镻O?⊥x軸，O″A⊥x軸，所以粒子出場(chǎng)速度v_A平行于x軸，即b電子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，也恰好沿x軸正方向進(jìn)入電場(chǎng)，
有：yb=r+rcos30°=l₀+

3

2

l₀                               
當(dāng)b沿y方向運(yùn)動(dòng)l₀后沿與x軸方向成θ做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
tanθ=

v1

v

      
v₁=at
又tanθ=

2

可得：tanθ=

yb-ya

△x

       
解得：△x=

6

4

l₀；          
（3）在磁場(chǎng)中，有T=

2πl0

v

        
a與b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差為△t₁

△t1

T

=

△θ

2π

△θ=150°-90°
所以，△t1=

T

6

=

πl0

3v

           
B在第二象限內(nèi)的無(wú)場(chǎng)區(qū)域的勻速時(shí)間為△t₂
△t₂=

r-rsin30°

v

=

l0

2v

a與b在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差為△t₃    
△t₃=

△x

v

所以時(shí)間差：△t=△t₁+△t₂+△t₃=

πl0

3v

+

2l0+ 6 l0

4v

答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度為

mv

el0

；
（2）a、b兩個(gè)電子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)后到達(dá)x軸的坐標(biāo)差△x 為

6

4

l₀；          
（3）所以時(shí)間差△t為

πl0

3v

+

2l0+ 6 l0

4v

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng)，要求正確利用好幾何關(guān)系進(jìn)行分析．