Question

如圖所示，水平面上OA部分粗糙，其他部分光滑．輕彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為M的小滑塊連接，開始時(shí)滑塊靜止在O點(diǎn)，彈簧處于原長(zhǎng)．一質(zhì)量為m的子彈以大小為v的速度水平向右射入滑塊，并留在滑塊中，子彈打擊滑塊的時(shí)間極短，可忽略不計(jì)．之后，滑塊向右運(yùn)動(dòng)并通過(guò)A點(diǎn)，返回后恰好停在出發(fā)點(diǎn)O處．求：
（1）子彈打擊滑塊結(jié)束后的瞬間，滑塊和子彈的共同速度大小；
（2）試簡(jiǎn)要說(shuō)明滑塊從O到A及從A到O兩個(gè)過(guò)程中速度大小的變化情況，并計(jì)算滑塊滑行過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能的最大值；
（3）滑塊停在O點(diǎn)后，另一顆質(zhì)量也為m的子彈以另一速度水平向右射入滑塊并停留在滑塊中，此后滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅兩次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，求第二顆子彈的入射速度u的大小范圍．

Answer 1

（1）子彈打擊滑塊，滿足動(dòng)量守恒定律，設(shè)子彈射入滑塊后滑塊的速度為v₁，
則：mv=（M+m）v₁
v1=

mv

M+m

…①
（2）從O到A滑塊做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，從A到O滑塊可能做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，或先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)再做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)．
滑塊向右到達(dá)最右端時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大．設(shè)在OA段克服摩擦力做的功為W_f，與滑塊的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，彈性勢(shì)能最大值為E_p，
根據(jù)能量守恒定律：

1

2

(M+m)

v

21

=Wf+Ep…②
由于滑塊恰能返回到O點(diǎn)，返回過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律：

Ep=Wf…③ ①②③式解得：Ep= m2v2 4(M+m)

（3）設(shè)第二顆子彈射入滑塊后滑塊的速度為v₂，由動(dòng)量守恒定律得：mu=（M+2m）v₂ …④
如果滑塊第一次返回O點(diǎn)時(shí)停下，則滑塊的運(yùn)動(dòng)情況同前，對(duì)該過(guò)程應(yīng)用能量守恒定律：

1

2

(M+2m)

v

22

=2W′f⑤

W′f

Wf

=

M+2m

M+m

…⑥
①②③④⑤⑥聯(lián)立解得：u1=

M+2m

M+m

v
如果滑塊第三次返回O點(diǎn)時(shí)停下，對(duì)該過(guò)程由能量守恒：

1

2

(M+2m)v

′

22

=4W′f⑦
①②③④⑥⑦聯(lián)立解得：u2=

2

M+2m

M+m

v
所以，滑塊僅兩次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，第二顆子彈入射速度的大小范圍在：

M+2m

M+m

v＜u＜

2

M+2m

M+m

v
答：（1）子彈打擊滑塊結(jié)束后的瞬間，滑塊和子彈的共同速度大小是

mv

M+m

；
（2）滑塊滑行過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能的最大值是

m2v2 4(M+m)

；
（3）第二顆子彈的入射速度u的大小范圍是

M+2m

M+m

v＜u＜

2

M+2m

M+m

v．