Question

19．如圖所示，頂角θ=45°的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度υ₀沿導(dǎo)軌MON向右滑動(dòng)，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均為r．導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸．t=0時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂角O處．求：

    (1)t時(shí)刻流過導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I和電流方向．

    (2)導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)水平外力F的表達(dá)式．

    (3)導(dǎo)體棒在0～t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q．

    (4)若在t₀時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x．

Answer 1

  （1）0到t時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒的位移     x=v₀t

        t時(shí)刻，導(dǎo)體棒的長(zhǎng)度          l=x

        導(dǎo)體棒的電動(dòng)勢(shì)               E=Blv₀

        回路總電阻                   R=（2x+x）r

        電流強(qiáng)度                     I=

        電流方向  b→a

  （2）F=BlI=

  （3）解法一

t時(shí)刻導(dǎo)體棒的電功率  P=I²R′=

∵P∝t        ∴Q=

  （3）解法二

       t時(shí)刻導(dǎo)體棒的電功率         P=I²R′

由于I恒定，                R′=v₀rt∝t

因此，                      =I²=I²

Q=t=

  （4）撤去外力后，設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，取得短時(shí)間Δt或很短距離Δx

        解法一

        在t～t+Δt時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)量定理得

        BlIΔt=mΔv

        ∑（lvΔt）=∑mΔv

        ΔS=mv₀

掃過面積  ΔS=    （x₀=v₀t₀）

得

x=

或       設(shè)滑行距離為d

則       ΔS=d

即       d²+2v₀t₀d-2ΔS=0

解之     d= -v₀t₀+         （負(fù)值已舍去）

得x=v₀t₀+d=

    =

解法二

在x～x+Δx，由動(dòng)能定理得

FΔx=mv²-m（v-Δv）²=mvΔv（忽略高階小量）

得∑Δs=∑mΔv

ΔS=mv₀

以下解法同解法一

解法三（1）

由牛頓第二定律得    F=ma=m

                 得  Ft=mv

以下解法同解法一

解法三（2）

由牛頓第二定律得    F=ma=m=m

得    Fx=mvv

以下解法同解法二