Question

（2006?江蘇）如圖所示，頂角=45°的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度v₀沿導(dǎo)軌MON向右滑動(dòng)，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均勻?yàn)閞．導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸．t=0時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂角O處，求：
（1）t時(shí)刻流過導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I和電流方向．
（2）導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)水平外力F的表達(dá)式．
（3）導(dǎo)體棒在0～t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（4）若在t₀時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x．

Answer 1

分析：（1）求出t時(shí)刻導(dǎo)體棒的有效長(zhǎng)度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和閉合電路歐姆定律求出電流強(qiáng)度的大小，根據(jù)右手定則求出電流的方向．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平外力等于安培力，根據(jù)平衡求出水平拉力的表達(dá)式．
（3）導(dǎo)體棒在0～t時(shí)間內(nèi)電流大小恒定，抓住R與時(shí)間正比，通過平均功率，根據(jù)Q=Pt求出產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（4）根據(jù)動(dòng)量定理，結(jié)合微分思想、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在t₀時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x．

解答：解：（1）0到t時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒的位移x=v₀t
t時(shí)刻，導(dǎo)體棒長(zhǎng)度l=x
導(dǎo)體棒的電動(dòng)勢(shì) E=Blv₀
回路總電阻 R=（2x+

2

x）r
電流強(qiáng)度   I=

E

R

=

Bv0

(2+ 2 )r

電流方向?yàn)閎到a．
（2）勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，安培力等于拉力．
F=BlI=

B2 v 2 0 t

(2+ 2 )r

（3）t時(shí)刻導(dǎo)體棒的電功率  P=I²R′
由于I恒定，R′=v₀rt正比于t
因此

.

P

=I²

.

R

=

1

2

I² R′
Q=

.

P

t=

B2v 03 t2

2(2+ 2 )2r

（4）撤去外力后，設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，取很短時(shí)間△t或很短距離△x

在t～t+△t時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)量定理得
BlI△t=m△v∑

B2

(2+ 2 )r

（lv△t）=∑m△v=

B2

(2+ 2 )r

△S=mv₀
掃過面積△S=

(x0+x)(x-x0)

2

=

x2- x 2 0

2

（x₀=v₀t₀）得
x=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

或設(shè)滑行距離為d
則△S=

v0t0+(v0t0+d)

2

d
即d²+2v₀t₀d-2△S=0
解之 d=-v₀t₀+

2△S+(v0t0)2

得x=v₀t₀+d=

2△S+(v0t0)2

=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

答：（1）t時(shí)刻流過導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I為

Bv0

(2+ 2 )r

，電流方向?yàn)閎到a．
（2）導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)水平外力F的表達(dá)式為F=

B2 v 2 0 t

(2+ 2 )r

．
（3）導(dǎo)體棒在0～t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q=

B2v 03 t2

2(2+ 2 )2r

．
（4）導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，尤其在第四問，對(duì)學(xué)生能力要求較高．