Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy第一象限內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，M、N分別是坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)，已知OM=a，ON=

3

a，紙面內(nèi)的虛線PQ與y軸相距

3 +2

2

a．一質(zhì)量為m、電量為+q的粒子（重力不計）從M點(diǎn)垂直磁場射入并從N點(diǎn)離開．
（1）如果粒子的速度與MN成θ（θ＜

π

2

）角，求粒子的速度大��；
（2）如果粒子在磁場中運(yùn)動沒有通過虛線PQ，求粒子運(yùn)動時間最長時的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛侖茲力提供向心力．畫出粒子運(yùn)動軌跡圖，結(jié)合幾何知識求解
（2）粒子運(yùn)動的軌跡剛好與虛線PQ相切并最終通過N點(diǎn)時，偏轉(zhuǎn)圓心角最大，此時運(yùn)動時間最長．畫出軌跡圖，根據(jù)幾何知識列式，可求解

解答：解：（1）粒子的速度與MN成θ（θ＜

π

2

）角分兩種情況，分別作出兩種情況下粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡，如圖：


上圖中設(shè)圓心為O′，半徑為r，
由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

r

解得r=

mv

qB

              
根據(jù)幾何知識可得，rcos（

π

2

-θ）=

MN

2

=a  
聯(lián)立上式可得v=

qBa

msinθ

       
下圖中：根據(jù)幾何知道得：rcos（θ-

π

2

）=

MN

2

=a
代入可得：v=

qBa

msinθ

綜上可得，粒子的速度大小v=

qBa

msinθ

（2）粒子運(yùn)動的軌跡剛好與虛線PQ相切并最終通過N點(diǎn)時的運(yùn)動時間最長． 
設(shè)此時粒子的速度方向與y軸正向成α角，粒子運(yùn)動的半徑為r′

根據(jù)幾何知識可得r′sin（

π

2

-α）+r′=

3 +2

2

a    
r′cos（

π

6

-α）=

MN

2

=a
解得α=

π

6

，r′=a                
則粒子的運(yùn)動速度v=

qBa

m

       
答：（1）粒子的速度為

qBa

msinθ

（2）粒子運(yùn)動時間最長時的速度為

qBa

m

點(diǎn)評：本題考查粒子在磁場中的運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，關(guān)鍵是畫出軌跡圖，利用幾何關(guān)系列式求解．考查學(xué)生處理問題的靈活以及解決實(shí)際問題的能力．