Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)xOy平面y軸左側(cè)（含y軸）有一沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從x軸上P處以速度v₀沿x軸正向進(jìn)入電場(chǎng)，從y軸上Q點(diǎn)離開電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸負(fù)向夾角θ=30°，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-d），在y軸右側(cè)有一與坐標(biāo)平面垂直的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫出），磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=

mv0

qd

，粒子能從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸負(fù)向再進(jìn)入電場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（2）如果有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榘雸A形，求磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；
（3）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的總時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）由粒子進(jìn)入磁場(chǎng)速度為2v₀，由幾何關(guān)系可得角度關(guān)系．帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，受重力和電場(chǎng)力，由動(dòng)能定理可得電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）由運(yùn)動(dòng)軌跡圖，可以找出磁場(chǎng)邊長的最小值，可得最小面積．
（3）進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，由左手定則可以判定受力，進(jìn)而確定其轉(zhuǎn)動(dòng)方向，作圖可得運(yùn)動(dòng)軌跡，由運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可得圓心角，進(jìn)而得到圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，QM段粒子做勻速運(yùn)動(dòng)可得此段的時(shí)間，相加得總時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)粒子從Q點(diǎn)離開電場(chǎng)時(shí)速度大小為v，由粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)得：
   v=2v₀
由動(dòng)能定理得：qEd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：E=

3m v 2 0

2qd

（2）設(shè)粒子從N點(diǎn)進(jìn)入、N點(diǎn)離開半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，圓心為O₁，如圖所示
由qvB=

mv2

r

解得：r=

mv

qB

=2d
若半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的面積最小，則半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的圓心為O₂，
可得半徑R=1.5r=2d   
半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S=

1

2

πR2=

9

2

πd2=4.5πd²   
（3）設(shè)粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，粒子從Q點(diǎn)離開電場(chǎng)時(shí)沿y軸負(fù)向速度大小為v_y，
有v_y=

3

v0，t₁=

2d

vy

解得：t₁=

2 3 d

3v0

      
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，有t₂=

4πr

3v

=

4πd

3v0

    
粒子在QM、NO間做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t₃、t₄，
由幾何關(guān)系可得QM距離

.

QM

=

4 3 d

3

，得：t₃=

. QM

v

=

2 3 d

3v0

    
NO間距離

.

NO

=

5 3 d

3

     得：t₄=

. NO

v

=

5 3 d

6v0

     
粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的總時(shí)間為：
 t=t₁+t₂+t₃+t₄=

2 3 d

3v0

+

4πd

3v0

+

2 3 d

3v0

+

5 3 d

6v0

=

(13 3 +8π)d

6v0

   
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E為

3m v 2 0

2qd

；
（2）如果有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榘雸A形，磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為4.5πd²；
（3）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的總時(shí)間為

(13 3 +8π)d

6v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的幾何能力要求較高，關(guān)鍵畫出粒子的軌跡圖，結(jié)合牛頓第二定律以及向心力等知識(shí)進(jìn)行求解．