Question

（2013?常德模擬）如圖所示，在xOy平面的第I象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E；第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q 兩點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場．一帶正電的粒子（重力不計(jì)）以速率v₀從P點(diǎn)射入磁場后恰好垂直y軸進(jìn)入電場，最后從M（

3

R，0）點(diǎn)射出電場，出射方向與x軸正向夾角為α=60⁰，求：
（1）帶電粒子的比荷；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（3）粒子從射入磁場到射出電場的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動，由到達(dá)M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點(diǎn)y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的比荷；
（2）根據(jù)運(yùn)動學(xué)的公式，求出粒子進(jìn)入電場時(shí)的位置，畫出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動的半徑，根據(jù)半徑公式R=

mv

qB

求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，利用洛倫茲力提供向心力的公式，求出在磁場中運(yùn)動的時(shí)間．利用平拋運(yùn)動的規(guī)律求出粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間．總時(shí)間是各段時(shí)間的和．

解答：解：（1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動，設(shè)粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為t₃，在x方向上：

3

R=v0t3，得：t3=

3 R

v0

y方向：vy=at3=

qE

m

?t3，
又由于：

vy

v0

=tanα=

3

聯(lián)立以上3個(gè)公式解得：

q

m

=

v 2 0

ER

（2）沿電場線方向粒子的位移：y=

1

2

a

t

2 3

=

1

2

?

qE

m

?

t

2 3

=

1

2

?

v 2 0

ER

?E?

3R2

v 2 0

=

3R

2

所以粒子進(jìn)入電場時(shí)的坐標(biāo)N（0，

3R

2

），所以畫出粒子運(yùn)動的軌跡如圖：
設(shè)粒子做圓周運(yùn)動的半徑為r，則r+rcosθ=

3R

2

，rsinθ=

R

2

解以上兩個(gè)方程得：r=

5

6

R
洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動的向心力，得：qv0B=

m v 2 0

r

所以：B=

mv0

qr

=

ER

v 2 0

?v0?

5

6R

=

5E

6v0

（3）粒子在磁場中運(yùn)動的周期：T=

2πr

v0

=

5πR

3v0

設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t₁，在磁場和電場之間運(yùn)動的時(shí)間為t₂，

t1

T

=

β

360°

，β=π-arcsin

R 2

r

=π-arcsin

3

5

=180°-37°=153°
所以：t1=

153°

360°

?

5πR

3v0

=

17πR

24v0

粒子在磁場和電場之間運(yùn)動的時(shí)間：t2=

R 2

v0

=

R

2v0

粒子從射入磁場到射出電場的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=

17πR

24v0

+

R

2v0

+

3 R

v0

答：（1）帶電粒子的比荷

q

m

=

v 2 0

ER

；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=

5E

6v0

；
（3）粒子從射入磁場到射出電場的時(shí)間t=

17πR

24v0

+

R

2v0

+

3 R

v0

．

點(diǎn)評：粒子在電場中運(yùn)動偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來解決問題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心、半徑及運(yùn)動時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識解決物理問題．