Question

（2011?海淀區(qū)模擬）圖是一種碰撞裝置的俯視圖，其左邊Q是一個(gè)接收器，它的下端裝有光滑軌道（圖中未畫出），左端與固定在墻壁上的輕質(zhì)彈簧相連；右邊P是一固定的發(fā)射器，它可根據(jù)需要瞄準(zhǔn)接收器的接收口，將質(zhì)量m=0.10kg的珠子以v₁=50m/s的速度沿水平方向射入接收器．已知接收器的質(zhì)量M=0.40kg，彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)，接收器右邊緣與直線MN對(duì)齊．若接收器右邊緣停止在MN線上或向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)MN線時(shí)，都有一粒珠子打入接收器，并在極短時(shí)間內(nèi)與接收器具有相同的速度．
（1）求第一粒珠子打入接收器之后，彈簧被壓縮至最短的過(guò)程中（在彈簧的彈性限度內(nèi)），當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到其能達(dá)到最大值的一半時(shí)接收器的速度大�。�
（2）試分析當(dāng)?shù)趎粒珠子射入接收器中剛與接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器速度的大小；
（3）已知與接收器相連接彈簧的勁度系數(shù)k=400N/m，發(fā)射器左端與MN線的水平距離s=0.25m，求發(fā)射器至少應(yīng)發(fā)射幾粒珠子后停止發(fā)射，方能使接收器沿直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)而不會(huì)碰到發(fā)射器．（注：輕質(zhì)彈簧的彈性勢(shì)能可按EF=

1

2

kx2進(jìn)行計(jì)算，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．）

Answer 1

分析：（1）第一粒珠子打入接收器內(nèi)剛與接收器相對(duì)靜止過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式；此后接收器和彈簧機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解即可；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律分別求出第一輪珠子、第二粒珠子、…、第n粒珠子打入時(shí)的速度，得到規(guī)律；
（3）接收器和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式；再根據(jù)最大位移x小于S；聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）設(shè)第一粒珠子打入接收器內(nèi)剛與接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器速度的大小為v₁，
根據(jù)動(dòng)量守恒定律  mv₀=（M+m）v₁①
彈簧的最大彈性勢(shì)能E_pm=

1

2

（M+m）

v

2 1

②
設(shè)接收器運(yùn)動(dòng)中彈簧彈性勢(shì)能等于最大值一半時(shí)，接收器的速度為v_x ，
由機(jī)械能守恒定律  Epm=

1

2

(M+m)

v

2 x

+

Epm

2

③
聯(lián)立①②③，解得 vx=5

2

=7.1m/s
（2）第1粒珠子打入接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器速度v1=

mv0

M+m

設(shè)第2粒珠子打入接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器速度為v₂，
同理  mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂，解得 v₂=0     
設(shè)第3粒珠子打入接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器速度為v₃，
同理 mv₀=（M+3m）v₃，解得 v3=

mv0

M+3m

     
設(shè)第4粒珠子打入接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器速度為v₄，
同理 mv₀-（M+3m）v₃=（M+4m）v₄，解得v₄=0
可見，當(dāng)?shù)谄鏀?shù)個(gè)珠子打入接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器的速度
v奇=

mv0

M+nm

  其中n=1，3，5          
當(dāng)?shù)谂紨?shù)個(gè)珠子打入接收器相對(duì)靜止時(shí)，接收器的速度 v_偶=0     
（3）若接收器往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不碰到發(fā)射器，則接收器最大位移x≤s 
根據(jù)能量守恒定律 

1

2

kx2=

1

2

(M+nm)

v

2 奇

      
代入數(shù)據(jù)解得n≥6           
要使接收器在停止射擊后能往復(fù)運(yùn)動(dòng)，則發(fā)射的珠子數(shù)n必為奇數(shù)，所以至少應(yīng)發(fā)射7粒珠子后停止發(fā)射，使接收器沿直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)而不碰到發(fā)射器．

點(diǎn)評(píng)：本題是多物體系統(tǒng)的動(dòng)量和能量綜合的問(wèn)題，關(guān)鍵先計(jì)算出接受一個(gè)球、二個(gè)球、三個(gè)球…的情況，然后總結(jié)規(guī)律，難題．