Question

已知函數(shù).

（I）求證：不論為何實數(shù)總是為增函數(shù)；

（II）確定的值, 使為奇函數(shù)；

（Ⅲ）當為奇函數(shù)時, 求的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1) 見解析；(2)  ；（3）的值域為

【解析】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．

（1）先設(shè)x₁＜x₂，欲證明不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；

（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，利用定義得出f（-x）=-f（x），從而求得a值即可；

（3）由（2）知f(x)=利用指數(shù)函數(shù)2^x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得f（x）的值域．

解: (1) 依題設(shè)的定義域為       ……1分

原函數(shù)即   ，設(shè),

則=,……2分

, ,

即,所以不論為何實數(shù)總為增函數(shù).     ……5分

(2) 為奇函數(shù), ,即,

        則，

          ……10分

（3）由(2)知, ,,

      

       所以的值域為    ……14分