Question

（2009•紅橋區(qū)一模）已知點(diǎn)M（1+cos2x，1），N（1，

3

sin2x）（x∈R），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若f（x）=

OM

•

ON

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，求函數(shù)f（x）的最值，并求出取得最值時的x的取值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)量積以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）通過x∈[-

π

6

，

π

3

]，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域直接求函數(shù)f（x）的最值，并求出取得最值時的x的取值即可．

解答：（本小題滿分12分）
解（I）

OM

=(1+cos2x，1)，

ON

=(1，

3

sin2x)

∴f(x)= OM • ON =1+cos2x+ 3 sin2x =2sin(2x+ π 6 )+1 由2kπ- π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ π 2 ， ∴kπ- π 3 ≤x≤kπ+ π 6 (k∈z)

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

] k∈Z
（Ⅱ）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5

6

π，

∴- 1 2 ≤sin(2x+ π 6 )≤1 ∴0≤f(x)≤3

∴函數(shù)f（x）的最大值為3，此時x=

π

6

．
函數(shù)f（x）的最小值為0，此時x=-

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．