Question

已知點M是直線上的動點，為定點，過點M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點P．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）經(jīng)過點Q（a，0）（a＞0）且與x軸不垂直的直線l與點P的軌跡有兩個不同交點A、B，若在x軸上存在點C，使得△ABC為正三角形，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由過點M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點P，可得|PF|=|PM|，利用拋物線的定義可得點P的軌跡是拋物線，從而求得方程；
（2）設直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，確定AB中點的坐標，利用△ABC為正三角形，建立兩個方程，即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵過點M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點P，∴|PF|=|PM|，
∴由拋物線的定義可得點P的軌跡C是以F為焦點，以直線為準線的拋物線，
∴點P的軌跡方程為y²=2x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為N（x，y），C（t，0），直線l的方程為x=my+a（m≠0）
與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得：y²-2my-2a=0
∴△=4m2+8a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a
∴y=m，x=m²+a
∵△ABC為正三角形，
∴NC⊥AB，NC=
∴，=
∴t=m²+a+1，=
∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a）
∴a=
∵m≠0，a＞0
∴0＜a＜
∴實數(shù)a的取值范圍為（0，）．
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．