Question

【題目】已知兩點(diǎn)A（﹣2，0）、B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Ω的方程；

（2）若橢圓上點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程是：

①過直線l：x＝4上一點(diǎn)M引Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是P、Q，求證：直線PQ恒過定點(diǎn)N；

②是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|PN|+|QN|＝λ|PN||QN|？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（y≠0）；（2）①見解析②存在，

【解析】

(1)設(shè),再根據(jù)斜率之積列式求解即可.

(2)①根據(jù)題中所給的切線方程,設(shè),進(jìn)而求得過的切線方程,再代入坐標(biāo)即可求得的直線方程,再分析定點(diǎn)即可.

②由①有,代入橢圓方程求得交點(diǎn)關(guān)于縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理,進(jìn)而表達(dá)出的關(guān)系式,再化簡(jiǎn)求解即可.

（1）設(shè)P（x,y）,由題意kPAkPB,整理得：（y≠0）,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Ω的方程：（y≠0）；

（2）①設(shè)切點(diǎn)P（x1,y1）,Q（x2,y2）,由題意設(shè)M（4,t）,則切線方程分別是：,1,

因?yàn)閮蓷l切線過M點(diǎn),則x11,x21,

即P,Q的坐標(biāo)滿足方程：xy＝1,而兩點(diǎn)確定唯一的直線,

所以直線PQ的方程：xy＝1,

顯然對(duì)任意的t值,點(diǎn)（1,0）都適合,

所以直線PQ恒過定點(diǎn)N（1,0）；

②將直線PQ方程：xy+1代入橢圓中整理得：3（1）2+4y2﹣12＝0,

即（12+t2）y2﹣6ty﹣27＝0

∴y1+y2,y1y2,設(shè)y1＞0,y2＜0,

因?yàn)?/span>|PN|y1,

同理|QN|,

所以

.

即|PN|+|QN||PN||QN|

故存在實(shí)數(shù),使得|PN|+|QN|＝λ|PN||QN|恒成立.