Question

已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓的焦距為2．
⑴求橢圓的方程；
⑵設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)圓與橢圓的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)時(shí)，求△面積的最大值．

Answer 1

⑴． ⑵。

試題分析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014249150406.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以．  2分
所以．  4分
所以橢圓的方程為．  6分
⑵設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014249509612.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以直線的方程為．  8分
由于圓與有公共點(diǎn)，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240142497591080.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，  10分
即 ．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014249837998.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．  12分
解得，又，∴．  14分
當(dāng)時(shí)，，所以   16分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。利用函數(shù)觀點(diǎn)，建立三角形面積的表達(dá)式，確定其最值。