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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1
          2
          x2+(a-3)x+lnx

          (1)若函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值;
          (2)在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,有f(x0)=
          y1-y2
          x1-x2
          成立?若存在,請求出x0的值;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立或小于等于0恒成立,分離出a,利用基本不等式求出a的范圍,從而求出a的最小值;
          (2)利用兩點(diǎn)的斜率公式求出k,求出f′(x0)列出方程,通過換元構(gòu)造新函數(shù),用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,得到矛盾.
          解答:解:(1)∵f(x)=
          1
          2
          x2+(a-3)x+lnx
          (x>0),
          ∴f′(x)=x+(a-3)+
          1
          x
          ;
          若f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
          則f′(x)≥0對x>0恒成立,即a≥-(x+
          1
          x
          )對x>0恒成立,
          當(dāng)x>0時(shí),-(x+
          1
          x
          )+3≤-2+3=1;
          ∴a≥1.
          若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
          則f′(x)≤0對x>0恒成立,即a≤-(x+
          1
          x
          )+3對x>0恒成立,
          這是不可能的.
          綜上,a≥1.
          ∴a的最小值為1.
          (2)假設(shè)存在不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設(shè)0<x1<x2,
          ∴k=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          (
          1
          2
          x
          1
          2
          +(a-3)x1+lnx1)-(
          1
          2
          x
          2
          2
          +(a-3)x2+lnx2)
          x1-x2
          =
          1
          2
          (x1+x2)+(a-3)+
          ln
          x1
          x2
          x1-x2
          ;
          ∵f′(x0)=x0+(a-3)+
          1
          x0
          ,x0=
          1
          2
          (x1+x2),
          若k=f′(x0),則
          ln
          x1
          x2
          x1-x2
          =
          1
          x0
          ,即ln
          x1
          x2
          =
          2(x1-x2)
          x1+x2
          =
          2(
          x1
          x2
          -1)
          x1
          x2
          +1
          (*);
          令t=
          x1
          x2
          ,則函數(shù)u(t)=lnt-
          2(t-1)
          t+1
          (0<t<1),
          則u′(t)=
          1
          t
          -
          4
          (t+1)2
          =
          (t-1)2
          t(t+1)2
          >0,∴u(t)在0<t<1上是增函數(shù),
          ∴u(t)<u(1)=0,
          ∴(*)式不成立,與假設(shè)矛盾.∴k≠f′(x0).
          因此,滿足條件的x0不存在.
          點(diǎn)評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí),也考查了運(yùn)算能力與化歸、轉(zhuǎn)化思想等知識(shí),是難題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時(shí)滿足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案