Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0是常數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在定義域上的單調性；
（2）對?n∈N^*，不等式ln(1+

1

n

)＞

1

n

+

p

n2

恒成立，求常數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導：f/(x)=2x+

b

x+1

=

1

x+1

[2(x+

1

2

)2+(b-

1

2

)]，由二次函數(shù)法研究導數(shù)大于或小于等于零，從而得到單調性．
（2）先構造函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x-px²，求導得.g/(x)=-x(

1

x+1

+2p)，1≤x+1≤2，

1

2

≤

1

x+1

≤1研究單調性，若p≤-

1

2

，則g^/（x）≥0，函數(shù)是增函數(shù)；若p≥-

1

4

，則g^/（x）≤0，函數(shù)是減函數(shù)；若-

1

2

＜p＜-

1

4

，求得g（x）的極值點，最后轉化為最值法解決．

解答：解：（1）f/(x)=2x+

b

x+1

=

1

x+1

[2(x+

1

2

)2+(b-

1

2

)]，
若b≥

1

2

，f（x）在定義域區(qū)間（-1，+∞）上單調增加；
若0＜b＜

1

2

，由f^/（x）=0解得x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

，
f（x）在（-1，x₁）上單調增加，在（x₁，x₂）上單調減少，在（x₂，+∞）上單調增加．

（2）設g（x）=ln（x+1）-x-px²，其中0≤x≤1.g/(x)=-x(

1

x+1

+2p)，1≤x+1≤2，

1

2

≤

1

x+1

≤1．
若p≤-

1

2

，則g^/（x）≥0，g（x）＞g（0）=0，從而?n∈N^*，ln(1+

1

n

)＞

1

n

+

p

n2

；
若p≥-

1

4

，則g^/（x）≤0，g（x）＜g（0）=0，從而?n∈N^*，ln(1+

1

n

)＜

1

n

+

p

n2

；
若-

1

2

＜p＜-

1

4

，解g^/（x）=0，得x₁=0或x2=-

1

2p

-1，而且x₂是g（x）的一個極小值點．
綜上所述，使不等式ln(1+

1

n

)＞

1

n

+

p

n2

（n∈N^*）恒成立的p的取值范圍是(-∞，-

1

2

]．

點評：本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，（2）是數(shù)列不等式，需要關注兩點，一是構造函數(shù)并運用函數(shù)的單調性證明數(shù)列不等式，二是根據(jù)解題要求選擇是否分離變量．