Question

【題目】已知函數(shù) （p，q為常數(shù)）是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且 ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并用定義證明f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性；
（3）解關(guān)于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意， ，解得p=1，q=0，所以 ．
（2）解：函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，證明如下：

任取﹣1＜x1＜x2＜1，則x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，

從而f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = = ＜0，

所以f（x1）＜f（x2），

所以函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增．

（3）解：原不等式可化為：f（2x﹣1）＜﹣f（x），即f（2x﹣1）＜f（﹣x），

由（2）可得，函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，所以 ，

解得 ，即原不等式解集為

【解析】（1）依題意， ，解得p=1，q=0，可得函數(shù)的解析式．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增．（3）原不等式可化為f（2x﹣1）＜f（﹣x），根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域（﹣1，1）上單調(diào)遞增，可得 ，由此求得x的范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．