Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，請求出一個(gè)長度為

1

4

的區(qū)間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請說明理由？（注：區(qū)間（a，b）的長度=b-a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的定義可知負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)，列出關(guān)于x的不等式組，求出解集即可；
（2）要判斷函數(shù)的奇偶性即求出f（-x），判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系可得；
（3）把f（x）的解析式代入到方程中利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)的定義化簡得到g（x）=0，然后在（-1，1）上取幾個(gè)特殊值-

1

2

，0，-

1

4

，代入g（x）求出值判斷任意兩個(gè)乘積的正負(fù)即可知道之間是否有根．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則

1-x＞0 1+x＞0

，
∴-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）
（2）∵f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）由題意知方程f（x）=x+1?log₂（1-x）-log₂（1+x）=x+1，可化為（x+1）2^x+1+x-1=0
設(shè)g（x）=（x+1）2^x+1+x-1，x∈（-1，1）
則g(-

1

2

)=

1

2

×2

1

2

-

1

2

-1=

2 -3

2

＜0，g（0）=2-1=1＞0，
所以g(-

1

2

)g(0)＜0，故方程在(-

1

2

，0)上必有根；
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">g(-

1

4

)=

3

4

×2

3

4

-

1

4

-1=

3 4 8 -5

4

=

4 648 - 4 625

4

＞0，
所以g(-

1

2

)g(-

1

4

)＜0，故方程在(-

1

2

，-

1

4

)上必有一根．
所以滿足題意的一個(gè)區(qū)間為(-

1

2

，-

1

4

)．

點(diǎn)評：此題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)求對數(shù)函數(shù)的定義域，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷根的存在性和根的個(gè)數(shù)．在做第三問時(shí)注意會(huì)取特殊值．