Question

已知函數(shù)f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，

6

）上單調(diào)遞減，在（

6

，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

(

x

a

+

a-1

x

)，故需對(duì)a分①當(dāng)a＜0②當(dāng)0＜a＜1③當(dāng)a＞1三種情況討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
（2）由題設(shè)及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，可求a的值，從而可得函數(shù)解析式
（3）假設(shè)存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l為曲線C的對(duì)稱軸，根據(jù)題意故可設(shè)l：y=kx（k≠0）．
設(shè)P′（p′，q′）與P（p，q）關(guān)于直線l對(duì)稱，且p≠p′，q≠q′，則P′在曲線C上，得

q+q/

2

=k•

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p/

3

+

2 3

p/

，整理可求k

解答：解：（1）①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

a(a-1)

，0），（0，

a(a-1)

）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

a(a-1)

），（

a(a-1)

，+∞）．
（2）由題設(shè)及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，解得a=3，因此函數(shù)解析式為f（x）=

3 x

3

+

2 3

x

（ x≠0）．
（3）假設(shè)存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l為曲線C的對(duì)稱軸，顯然x，y軸不是曲線C的對(duì)稱軸，故可設(shè)l：y=kx（k≠0）．
設(shè)P（p，q）為曲線C上的任意一點(diǎn)，P′（p′，q′）與P（p，q）關(guān)于直線l對(duì)稱，且p≠p′，q≠q′，
則P′也在曲線C上，由此得

q+q/

2

=k•

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，
且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p/

3

+

2 3

p/

，整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

．
所以存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線y=

3

x及y=-

3

3

x為曲線C的對(duì)稱軸．

點(diǎn)評(píng)：本題目主要考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的對(duì)稱性求解直線的方程的知識(shí)的綜合應(yīng)用．