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        <strong id="o5kww"><u id="o5kww"></u></strong>
        1. (2011•通州區(qū)一模)已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率e=
          4
          5
          ,兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,B1,B2為橢圓C短軸的兩端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上.且△MF1F2的周長(zhǎng)為18.
          (I)求橢圓C的方程;
          (II)當(dāng)M與B1,B2不重合時(shí),直線B1M,B2M分別交x軸于點(diǎn)K,H.求
          OH
          OK
          的值;
          (III)過(guò)點(diǎn)M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、Q.當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求|PQ|的最小值;并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
          分析:(I)由e=
          4
          5
          ,得
          c
          a
          =
          4
          5
          ①,由△MF1F2的周長(zhǎng)為18,得a+c=9②.聯(lián)立①②解得a,c,根據(jù)b2=a2-c2可求得b;
          (II)由(I)易求B1,B2坐標(biāo),設(shè)M(x0,y0)(x0≠0),由點(diǎn)斜式可得直線B1M的方程、直線B2M的方程,由直線方程可得點(diǎn)K、H坐標(biāo),通過(guò)計(jì)算可得
          OH
          OK
          的值;
          (III)設(shè)切線方程為:y=kx+m(k≠0),代入橢圓方程得,(25k2+9)x2+50kmx+25m2-225=0(*),則△=0,點(diǎn)P(-
          m
          k
          ,0),Q(0,m),由兩點(diǎn)間距離公式可得|PQ|2,利用基本不等式求其最小值,由等號(hào)成立條件可求得k值,進(jìn)而得m值,再代入(*)式可得點(diǎn)M橫坐標(biāo),進(jìn)而得縱坐標(biāo),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得其它象限的坐標(biāo);
          解答:解:(I)由e=
          4
          5
          ,得
          c
          a
          =
          4
          5
          ①,
          由△MF1F2的周長(zhǎng)為18,得2a+2c=18,即a+c=9②.
          聯(lián)立①②解得a=5,c=4,所以b2=a2-c2=9,
          所以橢圓C的方程為:
          x2
          25
          +
          y2
          9
          =1
          ;
          (II)由(I)可得B1(0,-3),B2(0,3),
          設(shè)M(x0,y0)(x0≠0),則直線B1M的方程為:y=
          y0+3
          x0
          x-3,直線B2M的方程為:y=
          y0-3
          x0
          x+3,
          令y=0,得xK=
          3x0
          y0+3
          ,xH=
          -3x0
          y0-3
          ,則
          OH
          =(
          -3x0
          y0-3
          ,0)
          ,
          OK
          =(
          3x0
          y0+3
          ,0)
          ,
          所以
          OH
          OK
          =
          -3x0
          y0-3
          ×
          3x0
          y0+3
          =
          -9x02
          y02-9

          x02
          25
          +
          y02
          9
          =1
          ,所以y02-9=-
          9
          25
          x02
          ,代入上式,得
          OH
          OK
          =
          -9x02
          -
          9
          25
          x02
          =25;
          (III)設(shè)切線方程為:y=kx+m(k≠0),代入橢圓方程得,(25k2+9)x2+50kmx+25m2-225=0(*),
          則△=(50km)2-4(25k2+9)(25m2-225)=0,即m2=25k2+9①,
          點(diǎn)P(-
          m
          k
          ,0),Q(0,m),
          則|PQ|2=
          m2
          k2
          +m2
          =m2(1+
          1
          k2
          )
          =(25k2+9)(1+
          1
          k2
          )
          =25k2+
          9
          k2
          +34
          ≥2
          25k2
          9
          k2
          +34=64,
          當(dāng)且僅當(dāng)k2=
          3
          5
          ,即k=±
          15
          5
          時(shí)取等號(hào),
          所以|PQ|的最小值為8,
          此時(shí)m2=25k2+9=24,所以m=±2
          6
          ,
          當(dāng)m=2
          6
          ,k=
          15
          5
          時(shí),代入(*)式并化簡(jiǎn)得8x2+20
          10
          x+125=0
          ,
          解得x=-
          5
          10
          4
          ,y=
          15
          5
          ×(-
          5
          10
          4
          )+2
          6
          =
          3
          6
          4
          ,
          此時(shí)點(diǎn)M(-
          5
          10
          4
          ,
          3
          6
          4
          ),
          由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得當(dāng)點(diǎn)M在第一、三、四象限時(shí)坐標(biāo)分別為:(
          5
          10
          4
          3
          6
          4
          ),(-
          5
          10
          4
          ,-
          3
          6
          4
          ),(
          5
          10
          4
          ,-
          3
          6
          4
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式求最值,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•通州區(qū)一模)已知f(x)=xex,則f′(1)=
          2e
          2e

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•通州區(qū)一模)若(a-i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虛數(shù)單位,則a2+b2=
          2
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•通州區(qū)一模)如果a、x1、x2、b成等差數(shù)列,a、y1、y2、b成等比數(shù)列,那么
          x1+x2
          y1y2
          等于(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•通州區(qū)一模)已知集合A={x|x>1},集合B={x|x2+x≤6},則A∩B等于( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•通州區(qū)一模)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,用過(guò)A,B1,D1三點(diǎn)的平面將其一角A1AB1D1截下,所得到的幾何體ABCD-B1C1D1的左視圖是( 。

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