Question

（2010•福建模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）有極值，求實數(shù)a的取值范圍和函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，函數(shù)g（x）=x³-x-2，證明：?x₁∈（l，e），?x₀∈（l，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，再由函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，令f′(2)=a+

1

2

=1求解．
（Ⅱ）f（x）有極值，則f′(x)=a+

1

x

=0有解，由x∈（1，e）得到-

1

x

∈(-1，-

1

e

)，再由a=-

1

x

求得a的范圍．求值域時，先求極值，再由a的范圍，確定端點值與極值的大小關(guān)系，從而確定值域．要注意討論．
（Ⅲ）：證明?x₁∈（l，e），?x₀∈（l，e），有g(shù)（x₀）=f（x₁）成立，即證函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集．所以分別求得兩個函數(shù)的值域，再盾集合的關(guān)系即可

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a+

1

x

=0（1分）
∵函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，∴f′(2)=a+

1

2

=1（2分）
∴a=

1

2

（3分）
（Ⅱ）由f′(x)=a+

1

x

=0，可得a=-

1

x

∵x∈（1，e）
∴-

1

x

∈(-1，-

1

e

)
∴a∈(-1，-

1

e

)（5分）
經(jīng)檢驗a∈(-1，-

1

e

)時，f（x）有極值．
∴實數(shù)a的取值范圍為(-1，-

1

e

)．（6分）
列表

f（x）的極大值為f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)（7分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤

1

1-e

又∵-1＜

1

1-e

＜-

1

e

（8分）
∴當-1＜a≤

1

1-e

時，函數(shù)f（x）的值域為(ae+1，-1+ln(-

1

a

)]（9分）
當

1

1-e

＜a＜-

1

e

時，函數(shù)f（x）的值域為(a，-1+ln(-

1

a

)]．（10分）
（Ⅲ）證明：∵當x∈（1，e）時，g'（x）=3x²-1＞0，
∴g（x）在（1，e）上為單調(diào)遞增函數(shù)（11分）
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2∴g（x）在（1，e）的值域為（-2，e³-e-2）（12分）
∵e³-e-2＞-1+ln(-

1

a

)，-2＜ae+1，-2＜a
∴(ae+1，-1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2），(a，-1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2）
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．（14分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值和值域等問題，有參數(shù)時一定要注意分類討論．