Question

下列函數(shù)中最小值為4的是（　　）

• A．y=x+

  4

  x

• B．y=

  2(x2+3)

  x2+2

• C．y=e^x+4e^-x
• D．y=sinx+

  4

  sinx

  ，（0＜x＜π）

Answer 1

分析：A．當(dāng)x＜0時(shí)，利用基本不等式的性質(zhì)，y=-(-x+

4

-x

)≤-4，可知無最小值；
B．變形為y=2(

x2+2

+

1

x2+2

)，利用基本不等式的性質(zhì)可知：最小值大于4；
C．利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出滿足條件；
D．利用基本不等式的性質(zhì)可知：最小值大于4．

解答：解：A．當(dāng)x＜0時(shí)，y=-(-x+

4

-x

)≤-2

(-x)× 4 -x

=-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取等號(hào)．因此此時(shí)A無最小值；
B.y=

2(x2+2+1)

x2+2

=2(

x2+2

+

1

x2+2

)≥2×2

x2+2 × 1 x2+2

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x²+2=1時(shí)取等號(hào)，但是此時(shí)x的值不存在，故不能取等號(hào)，即y＞4，因此B的最小值不是4；
C.y=ex+

4

ex

≥2

ex× 4 ex

=4，當(dāng)且僅當(dāng)ex=

4

ex

，解得e^x=2，即x=ln4時(shí)取等號(hào)，即y的最小值為4，因此C滿足條件；
D．當(dāng)0＜x＜π時(shí)，sinx＞0，∴y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx• 4 sinx

=4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=

4

sinx

，即sinx=2時(shí)取等號(hào)，但是sinx不可能取等號(hào)，故y＞4，因此不滿足條件．
綜上可知：只有C滿足條件．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，特別注意“=”是否取到．