Question

已知函數(shù)f(x)=x2ex-1-

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3

x3-x2．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)函數(shù)g(x)=

2

3

x3-x2，試比較f（x）與g（x）的大�。�

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），確定其正負(fù)，可得結(jié)論．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f'（x）=（e^x-1-1）（x²+2x）=x（x+2）（e^x-1-1）
令f'（x）=0，可得e^x-1-1=0或x²+2x=0，即x₁=-2，x₂=0，x₃=1
列表如下：

x	（-∞，-2）	（-2，0）	（0，1）	（1，+∞）
f'（x）	-	+	-	+
f（x）	↓	↑	↓	↑

由上表可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）和（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；在區(qū)間（-∞，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)．…（6分）
（II）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
又設(shè)函數(shù)?（x）=e^x-1-x，x∈R，則?'（x）=e^x-1-1，
所以當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，?'（x）＜0，此時(shí)?（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，?'（x）＞0，此時(shí)?（x）為增函數(shù)，
因而?（x）≥?（1）=0恒成立（等號(hào)僅當(dāng)x=1處取得）
綜上，當(dāng)x=0或1時(shí)，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
當(dāng)x≠0，且x≠1時(shí)，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．