Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，離心率e=

3

2

，一個焦點的坐標(biāo)為（

3

，0）．
（Ⅰ）求橢圓C方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=

1

2

x+m與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點T．當(dāng)m變化時，求△TAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可求得c，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，進(jìn)而根據(jù)b²=a²-c²求得b，則橢圓的方程可得．
（II）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得|AB|的表達(dá)式，表示x₀和y₀，進(jìn)而可知M的坐標(biāo)，設(shè)T（t，0），根據(jù)MT⊥AB，可推斷出k_MT•k_AB=-1進(jìn)而求得|MT|的表達(dá)式，根據(jù)三角形面積公式求得面積的表達(dá)式，根據(jù)m的范圍確定三角形面積的最大值．

解答：解：（I）依題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵c=

3

，e=

c

a

=

3

2

∴a=2，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程是

x2

4

+y2=1
（II）由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

得x2+4(

1

2

x+m)2=4，即x2+2mx+2m2-2=0
令△＞0，得8-4m²＞0，∴-

2

＜m＜

2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀）
則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2
|AB|=

(x2-x1) 2+(y2-y1) 2

=

5(2-m2)

x₀=

x1+x2

2

=-m，y₀=

x0

2

+m=

1

2

m
∴M（-m，

1

2

m）
設(shè)T（t，0），
∵M(jìn)T⊥AB，
∴k_MT•k_AB=

0- m 2

t+m

=-1
∴|MT|=

1 16 m2+ 1 4 m2

=

5

4

|m|．
∴S△TAB=

1

2

|AB|•|MT|=

1

2

•

5(2-m2)

•

5

4

|m|=

5

8

-(m2-1)2+1

．
∵-

2

＜m＜

2

，
∴當(dāng)m²=1，即m=±1時，S_△TAB取得最大值為

5

8

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．充分發(fā)揮判別式和韋達(dá)定理在解題中的作用．靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想解題．