Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，它的一條準線為x=-

5

2

，離心率為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于M點，若

MA

=λ1

AF

， 

MB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知所求的橢圓的焦點在x軸上故可設所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)然后利用它的一條準線為x=-

5

2

，離心率為

2 5

5

再結合a²=b²+c²即可求出a，b，c則問題即可求解．
（2）根據題意可得直線L的斜率存在故可設直線L的方程為y=k（x-2）則M（0，-2k）再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據向量的坐標計算可得

MA

=(x1，y1+2k)，

AF

=( 2-x1，-y1)，

MB

=(x2，y2+2k)，

BF

=(2-x2，-y2)然后再結合條件

MA

=λ1

AF

， 

MB

=λ2

BF

可求出點A，B的坐標而A，B兩點都在橢圓

x2

5

 +y2=1上則代入可得關于λ₁，λ₂的式子然后分析求解即可．

解答：解：（1）由題意可設所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)
∵它的一條準線為x=-

5

2

，離心率為

2 5

5

∴

a2 c = 5 2 c a = 2 5 5 a2= b2+c2

∴a=

5

，b=1，c=2
∴橢圓C的方程為

x2

5

 +y2=1
（2）經分析知過橢圓C的右焦點F的直線l的斜率存在設為k則直線L的方程為y=k（x-2）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）而F（2，0），M（0，-2k）
∴

MA

=(x1，y1+2k)，

AF

=( 2-x1，-y1)，

MB

=(x2，y2+2k)，

BF

=(2-x2，-y2)
又∵

MA

=λ1

AF

， 

MB

=λ2

BF

∴

x1=λ1(2-x1)  y1+2k=-λy1

，

x2=λ2(2-x2)   y2+2k=-λy2

∴

x1= 2λ1 1+λ1 y1= -2k 1+λ1

，

x2= 2λ2 1+λ2 y2= -2k 1+λ2

∵A，B兩點都在橢圓

x2

5

 +y2=1上
∴λ₁²+10λ₁+5-20k²=0且λ₂²+10λ₂+5-20k²=0
∴λ₁，λ₂為方程x²+10x+5-20k²=0的兩根
∴λ₁+λ₂=-10

點評：本題主要考察了直線與圓錐曲線的綜合．解題的關鍵是第一問需利用待定系數(shù)法求橢圓方程關鍵是a，b，c的求解而第二問須在得出λ₁²+10λ₁+5-20k²=0且λ₂²+10λ₂+5-20k²=0后分析出λ₁，λ₂為方程x²+10x+5-20k²=0的兩根然后利用根與系數(shù)的關系求解，則充分體現(xiàn)了“設而不求”的解題技巧！