Question

已知函數(shù)，其中.定義數(shù)列如下：，.

（I）當(dāng)時(shí)，求的值；

（II）是否存在實(shí)數(shù)m，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當(dāng)時(shí)，總能找到，使得.

Answer 1

（Ⅰ）1、2、5   （Ⅱ）存在

解析:

（Ｉ）因?yàn)?img width=41 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/43/412443.gif" >，，所以，

，.   ………………4分

   （II）方法一：

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.

由（I）得到，，

.

因?yàn)?img width=60 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/46/412446.gif" >成等差數(shù)列，

所以，                                      ………………6分

所以，，      

化簡得，

解得（舍）,.                         ………………8分

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)的公差不為0，

所以存在，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.…………9分

方法二：

因?yàn)?img width=60 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/46/412446.gif" >成等差數(shù)列，

所以，                               ………………6分

即，

所以，即.

因?yàn)?img width=73 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/77/412477.gif" >，所以解得.   ………………8分

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)的公差不為0.

所以存在，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.   …………9分

  （III）因?yàn)?img width=345 height=49 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/83/412483.gif" >,

又 ,  所以令.

由，

    ，

     ……

     ，

將上述不等式全部相加得，即，

因此只需取正整數(shù)，就有.