Question

已知橢圓的兩個焦點(diǎn)F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，過F₁且與坐標(biāo)軸不平行的直線l₁與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，如果△MNF₂的周長等于8．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意知c=

3

，4a=8，由此能得到橢圓的方程．
（II）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韋達(dá)定理結(jié)合向量的運(yùn)算法則能夠?qū)С?span id="0fureax" class="MathJye">

PE

•

QE

為定值

33

64

．

解答：解：（I）由題意知c=

3

，4a=8，∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1
（II）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則由韋達(dá)定理得x1+x2=

8k2

4k2+1

x1x2=

4k2-4

4k2+1

則

PE

=(m-x1，-y1)

QE

=(m-x2，-y2)
∴

PE

•

QE

=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m2-m

8k2

4k2+1

+

4k2-4

4k2+1

+k2(

4k2-4

4k2+1

-

8k2

4k2+1

+1)
=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

要使上式為定值須

4m2-8m+1

m2-4

=

4

1

，解得m=

17

8

∴

PE

•

QE

為定值

33

64

當(dāng)直線l的斜率不存在時P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)由E(

17

8

，0)可得

PE

=(

9

8

，-

3

2

)

QE

=(

9

8

，

3

2

)∴

PE

•

QE

=

81

64

-

3

4

=

33

64

綜上所述當(dāng)E(

17

8

，0)時，

PE

•

QE

為定值

33

64

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意韋達(dá)定理和向量知識的合理運(yùn)用．