Question

設函數f（x）=

1，1≤x≤2 x-1，2＜x≤3

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a∈R，記函數g（x）的最大值與最小值的差為h（a）．
（I）求函數h（a）的解析式；
（II）畫出函數y=h（x）的圖象并指出y=h（x）的最小值．

Answer 1

分析：（I） 先化簡g（x）的解析式，當a＜0時，當a＞1時，當0≤a≤1時，分別求出最大值與最小值的差為h（a）．
（II ）畫出y=h（x）的圖象，數形結合，求出 y=h（x）的最小值．

解答：解：（I） g（x）=

1-ax，1≤x≤2 (1-a)x-1，2＜x≤3

，
（1）當a＜0時，函數g（x）是[1，3]增函數，此時，
g（x）_max=g（3）=2-3a，
g（x）_min=g（1）=1-a，所以h（a）=1-2a．
（2）當a＞1時，函數g（x）是[1，3]減函數，此時，
g（x）_min=g（3）=2-3a，
g（x）_max=g（1）=1-a，所以h（a）=2a-1．
（3）當0≤a≤1時，若x∈[1，2]，則g（x）=1-ax，有
g（2）≤g（x）≤g（1）；
若x∈[2，3]，則g（x）=（1-a）x-1，有g（2）≤g（x）≤g（3）；
因此，g（x）_min=g（2）=1-2a，
而g（3）-g（1）=（2-3a）-（1-a）=1-2a，
故當0≤a≤

1

2

時，g（x）_max=g（3）=2-3a，有h（a）=1-a．
當

1

2

＜a≤1時，g（x）_max=g（1）=1-a，有h（a）=a．
綜上所述：h（a）=

1-2a，a＜0 1-a，0≤a≤ 1 2 a 1 2 ＜a≤1 2a-1，a＞1

．
（II）畫出y=h（x）的圖象，如圖：數形結合，可得 h(x)min=h(

1

2

)=

1

2

．

點評：本題考查求函數的最大值、最小值的方法，體現了數形結合、及分類討論的數學思想．