Question

已知二項(xiàng)式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n；
（2）求展開式中的一次項(xiàng)；
（3）求展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和．

Answer 1

分析：（1）由題意二項(xiàng)式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，可得出

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，解此方程求出n的值；
（2）由項(xiàng)的展開式Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r整理得Tr+1=

C

r 8

(

1

2

)rx4-

3r

4

，令x的指數(shù)為1，解出r的值，即可求得一次項(xiàng)；
（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和為C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸的和，計(jì)算出它的值即得．

解答：解：（1）前三項(xiàng)的系數(shù)為

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，…（1分）
由題設(shè)，得 

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，…（2分）
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）．           …（4分）
（2）Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=

C

r 8

(

1

2

)rx4-

3r

4

，…（6分）
令4-

3r

4

=1，得r=4．…（8分）
所以展開式中的一次項(xiàng)為T5=

C

4 8

(

1

2

)4x=

35

8

x．…（10分）
（3）∵C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸=2⁸=256，
∴所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256．…（14分）

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項(xiàng)式的項(xiàng)，等差數(shù)列的性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)和的公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)，二項(xiàng)式的性質(zhì)是一個(gè)非常重要的考點(diǎn)，也是每年高考的必考點(diǎn)，本題很典型，包括了二項(xiàng)式的主要性質(zhì)，題后注意總結(jié)