Question

已知二項(xiàng)式(x+

1

2

)n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）設(shè)(x+

1

2

)n=a0+a1x+a2x2+…+ anxn．①求a₅的值；②求a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

•4，由此求得n的值．
（2）①在二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于5，求得 r的值，即可求得a₅ 的值．
②在等式(x+

1

2

)8 =a0+a1x+a2x2+…+ a8x8 中，令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）^8•a₈的值．

解答：解：（1）由于已知二項(xiàng)式(x+

1

2

)n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)

C

0 n

、

C

1 n

•

1

2

、

C

2 n

•2²成等差數(shù)列，故有2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

•4，
解得n=8，或 n=1（舍去）．
（2）①二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為

C

r 8

•x^8-r•(

1

2

)r，令8-r=5，r=3，∴a₅=

C

3 8

•

1

8

=

7

4

．
②在等式(x+

1

2

)8 =a0+a1x+a2x2+…+ a8x8 中，令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）^8•a₈=

1

256

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于中檔題．