Question

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.

①利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);

②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)上的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X).

附:≈12.2.

若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.

Answer 1

【答案】(1)200,150(2) 0.6826, 68.26

【解析】

（1）運用離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，即可求出；

（2）①由（1）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運用所給數(shù)據(jù)；

②由①知X～B（100，0.6826），運用EX=np即可求得．

(1)抽取的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

(2)① 由(1)知,可近似認(rèn)為Z~N(200,150),

從而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.

②由① 知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)上的概率為0.6826,

依題意知X~B(100,0.682 6),所以E(X)=100×0.6826=68.26.