Question

（2013•婺城區(qū)模擬）已知點(diǎn)P是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，PF₂與兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)（如圖），點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，則雙曲線的離心率是（　　）

• A．

  5

• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：在三角形F₁F₂P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，點(diǎn)O恰好平分線段F₁F₂，根據(jù)三角形的中位線定理得出ON∥PF₁，從而得到∠PF₁F₂正切值，可設(shè)PF₂=bt．PF₁=at，再根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立等式求得a和b的關(guān)系，則離心率可得．

解答：解：在三角形F₁F₂P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，點(diǎn)O恰好平分線段F₁F₂，
∴ON∥PF₁，又ON的斜率為

b

a

，
∴tan∠PF₁F₂=

b

a

，
在三角形F₁F₂P中，設(shè)PF₂=bt．PF₁=at，
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，②
由①②消去t，得(a2+b2)

4a2

(b-a)2

=4c2，
又c²=a²+b²，
∴a²=（b-a）²，即b=2a，
∴雙曲線的離心率是

c

a

=

a2+b2

a

=

5

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)雙曲線定義和基本知識(shí)的掌握，屬于基礎(chǔ)題．