Question

（2013•浙江模擬）已知三個正整數(shù)2a，1，a²+3按某種順序排列成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若等差數(shù)列{a_n}的首項和公差都為a，等比數(shù)列{b_n}的首項和公比都為a，數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，且

Tn+2

2n

＞Sn-108，求滿足條件的正整數(shù)n的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a＞0，知a²+3=a²+1+2≥2a+2＞2a，由此結(jié)合題設(shè)條件能求出a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+（n-1）×2=2n，bn=2n，Sn=n(n+1)，Tn=2n+1-2，由此利用

Tn+2

2n

＞Sn-108，能求出n的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，∴a²+3=a²+1+2≥2a+2＞2a．…（2分）
①若三個數(shù)1，2a，a²+3依次成等差數(shù)列，
則有4a=a²+4解得a=2，符合題意；（4分）
②若三個數(shù)2a，1，a²+3依次成等差數(shù)列，
則有2=2a+a²+3解得a=-1，由a為正數(shù)不符合題意
∴a=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+（n-1）×2=2n，
bn=2n…（8分），
Sn=n(n+1)，Tn=2n+1-2…（10分）
∵

Tn+2

2n

＞Sn-108，
∴2＞n（n+1）-108，即n（n+1）＜110，…（11分）
故n的最大值為9．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查正整數(shù)n的最大值的求法．具體涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答．