Question

【題目】已知焦點(diǎn)在軸的橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且過點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)，有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)雙曲線離心率求得橢圓離心率，即得的關(guān)系，根據(jù)用表示出，即可設(shè)出橢圓方程，把點(diǎn)代入即可求得橢圓方程；（2）說明點(diǎn)在線段的垂直平分線上，根據(jù)整理方程組，由建立不等式，由韋達(dá)定理求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，可得垂直平分線方程，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入垂直平分線方程即可建立的關(guān)系，代入即可求得的范圍.

試題解析：（1）雙曲線，即的離心率為.由題意可得，橢圓的離心率，設(shè)橢圓方程為，∴橢圓方程為.又點(diǎn)在橢圓上，∴，∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)，由，消去并整理得，

∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，即，

又，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即為，所以在的垂直平分線上，設(shè)的垂直平分線方程：，∵在上，

∴，得，

將上式代入①式得，即或，

∴的取值范圍為.