Question

已知過點(diǎn)A（0，1）的直線l，斜率為k，與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N兩個不同點(diǎn)．
（1）求實數(shù)k取值范圍；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l方程為：y=kx+1，與圓C的方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式建立關(guān)于k的不等式，解之即得實數(shù)k取值范圍；
（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于k的方程，解之即得實數(shù)k的值．

解答：解：（1）由題意，設(shè)直線l方程為y=kx+1，
與圓C的方程消去y，得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0…（*）
∵直線l與圓C相交于M、N兩個不同點(diǎn)．
∴△=16（1+k）²-28（1+k²）＞0，解此不等式得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

…（6分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
根據(jù)（1）的（*），得x₁+x₂=

4+4k

1+k2

，x₁x₂=

7

1+k2

∵

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
∴

OM

•

ON

=12即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

4k(k+1)

1+k2

+8=12
解之得k=1，符合

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

，得k的值為1．　　　　　　　　　　　　　  …（12分）

點(diǎn)評：本題在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)直線與圓的位置求參數(shù)k的取值范圍，并在已知向量數(shù)量積的情況下求k的值，著重考查了直線與圓相交的性質(zhì)和向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．