Question

如圖，已知過點(diǎn)A（0，1）的直線l與拋物線C：y=x²交于M，N兩點(diǎn)，又拋物線C在M，N兩點(diǎn)處的兩切線交于點(diǎn)B，M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂．
（1）求x₁x₂的值；
（2）求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入y=x²，利用韋達(dá)定理可求x₁x₂的值；
（2）確定切線方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用（1）的結(jié)論，即可求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的值．

解答：解：（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入y=x²，可得x²-kx-1=0
∵M(jìn)，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
∴x₁x₂=-1；
（2）由y=x²，得y′=2x，
∴拋物線y=x²在點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）處的切線的斜率分別為2x₁，2x₂，
∴拋物線C在M，N兩點(diǎn)處的兩切線方程分別為y-y₁=2x₁（x-x₁），y-y₂=2x₂（x-x₂），
即為y=2x₁x-x₁²，y=2x₂x-x₂²，
∴x₂y=2x₁x₂x-x₂x₁²，x₁y=2x₁x₂x-x₁x₂²，
∵x₁x₂=-1
∴兩式相減，可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．