Question

如圖所示的四棱錐，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，AB=1，SB=

3

．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分別表示

BC

=(-1，0，0)，

SC

=(0，1，-1)，從而可得其數(shù)量積為0，故得證；
（2）用坐標(biāo)表示

DS

=(0，0，1)，

BS

=(-1，-1，1)，進(jìn)而可求夾角，由此可求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）用坐標(biāo)表示

DM

=（

2

2

，0，

2

2

），

SC

=(0，1，-1)，進(jìn)而可求異面直線DM與SC所成角

解答：解：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（

2

2

，0，

2

2

），S（0，0，1）
（1）∵

BC

=(-1，0，0)，

SC

=(0，1，-1)
∴

BC

•

SC

=0
∴BC⊥SC；
（2）∵

DS

=(0，0，1)，

BS

=(-1，-1，1)
∴cos＜

DS

，

BS

＞=

1

3

∴SB與底面ABCD所成角的正切值為

2

2

；
（3）

DM

=（

2

2

，0，

2

2

），

SC

=(0，1，-1)
∴cos＜

DM

，

CS

＞=

2 2

2

=

1

2

∴異面直線DM與SC所成角為30°

點(diǎn)評：本題以四棱錐為載體，考查空間向量，考查線線垂直，考查線面角，考查線線垂直，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．