Question

（1）對(duì)于任意的m∈R，動(dòng)直線l：（m+3）x-（m+2）y+m=0恒過(guò)一定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）兩定直線ON、OM夾角θ=45°，且與動(dòng)直線l分別交于點(diǎn)A、B，A、B在OM、ON上的射影分別為P、Q，如果直線AB過(guò)一定點(diǎn)，求證直線PQ也過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）按照m集項(xiàng)，利用任意的m∈R，方程成立，得到方程組，求出方程組的解，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，即可．
（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出直線AB的方程，求出B、Q、P的坐標(biāo)，寫(xiě)出PQ的方程，然后利用（1）的方法確定直線PQ也過(guò)一定點(diǎn)．

解答：解：（1）對(duì)于任意的m∈R，動(dòng)直線l：（m+3）x-（m+2）y+m=0轉(zhuǎn)化為：m（x-y+1）+3x-2y=0，
所以

x-y+1=0 3x-2y=0

解得x=2，y=3，所以直線l：（m+3）x-（m+2）y+m=0恒過(guò)定點(diǎn)（2，3）．
（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意可知OM的方程為：y=x，ON的方程為：y=0，
動(dòng)直線l分別交于點(diǎn)A、B，不妨設(shè)A為定點(diǎn)（1，0），直線AB的方程為：x=ny+1，（n≠1）
所以，AB與OM的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由

x=ny+1 y=x

可得：x=

1

1-n

，，（n≠1）
即Q的坐標(biāo)為（

1

1-n

，0），由題意P（

1

2

，

1

2

），
所以PQ的方程為：（

1

2

-

1

1-n

）（y-

1

2

）=

1

2

(x-

1

2

)，
即

1

2

(y-x)-

1

1-n

(y-

1

2

)=0，因?yàn)閚∈R，n≠1，
所以直線PQ恒過(guò)（

1

2

 ，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，注意m，n的任意性方程成立條件的應(yīng)用，考查解析法證明問(wèn)題的基本方法，考查計(jì)算能力．