Question

已知實(shí)數(shù)m為非零常數(shù)，且f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）為奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；
（3）當(dāng)x∈（b，a）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），請(qǐng)確定實(shí)數(shù)a與b的取值．

Answer 1

（1）若函數(shù)f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）為奇函數(shù)
故f（-x）+f（x）=loga(1+

m

-x-1

)+loga(1+

m

x-1

)=loga[(1+

m

x-1

)(1+

m

-x-1

)]=loga[

-x2+(m-1)2

1-x2

]=0
即

-x2+(m-1)2

1-x2

=1，即（m-1）²=1
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）=loga(1+

2

x-1

)=loga(

x+1

x-1

)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，理由如下：
令x₁，x₂是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0，1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

＞1
則f（x₁）-f（x₂）=loga(

x1+1

x1-1

)-loga(

x2+1

x2-1

)=loga(

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

)=loga[1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

]
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)
（3）由（1）得f（x）=loga(

x+1

x-1

)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，（b，a）?（-∞，-1）∪（1，+∞），此時(shí)函數(shù)的解析式無(wú)意義；
當(dāng)a＞1，若函數(shù)的解析式有意義，則1≤b＜a，
由（2）可得，此時(shí)函數(shù)在（b，a）上為減函數(shù)
若函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）
則f（a）=1，
即loga(

a+1

a-1

)=1
即

a+1

a-1

=a
解得a=1+

2

且

lim

x→b

(1+

2

x-1

)=+∞
解得b=1
綜上，a=1+

2

，b=1