Question

已知拋物線方程y²=8x，直線L的方程為

3

x-y+4=0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d₁，P到直線L的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值（　�。�

• A、

  3

  +2
• B、

  3

  -1
• C、2

  3

• D、

  3

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：連接PF，過點P作PA⊥l于點A，作PB⊥y軸于點B，PB的延長線交準線x=-2于點C．由拋物線的定義，得到d₁+d₂=（PA+PF）-2，再由平面幾何知識可得當P、A、F三點共線時，PA+PF有最小值，因此算出F到直線l的距離，即可得到d₁+d₂的最小值．

解答： 解：如圖，過點P作PA⊥l于點A，作PB⊥y軸于點B，PB的延長線交準線x=-2于點C，
連接PF，根據(jù)拋物線的定義得PA+PC=PA+PF，
∵P到y(tǒng)軸的距離為d₁，P到直線l的距離為d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-2=（PA+PF）-2，
根據(jù)平面幾何知識，可得當P、A、F三點共線時，PA+PF有最小值
∵F（2，0）到直線l：

3

x-y+4=0的距離為

2 3 +4

2

=

3

+2，
∴PA+PF的最小值是

3

+2，
由此可得d₁+d₂的最小值為

3

+2-2=

3

．
故選：D．

點評：本題給出拋物線和直線l，求拋物線上一點P到y(tǒng)軸距離與直線l距離之和的最小值，著重考查了點到直線的距離公式、拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．