Question

【題目】已知點 ，圓 ，過點 的直線l與圓 交于 兩點，線段 的中點為 （ 不同于 ），若 ，則l的方程是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可化為（x﹣2）2+y2=6，
所以圓心為C（2，0），半徑為 ，
設(shè)M（x，y），則 =（x﹣2，y）， =（1﹣x，1﹣y），
由題設(shè)知 =0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，
即（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ．
由于點P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ．
M的軌跡是以點N（ ， ）為圓心， 為半徑的圓．
由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的中垂線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因為ON的斜率為 ，所以l的斜率為﹣3，
故l的方程為y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．
故答案為：3x+y﹣4=0．
過一定點的直線與圓相交所得的弦的中點軌跡應(yīng)是一個圓在已知圓內(nèi)部的一部分,再由 | O P | = | O M |得直線的斜率,求其方程.