Question

（2006•朝陽區(qū)二模）四棱錐P-ABCD中，側(cè)面APD⊥底面ABCD，∠APD=∠BAD=90°，∠ADC=60°，E為AD上一點，AE=2，AP=6，AD=CD=8，AB=2

3

．
（Ⅰ）求證AB⊥PE；
（Ⅱ）求證：CD∥平面PBE；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證證AB⊥PE，只要證明AB垂直于PE所在的平面即可，利用面面垂直的性質(zhì)能夠得到BA垂直于平面PAD，則問題得到證明；
（Ⅱ）要證CD∥平面PBE，只要證明CD平行于平面PBE內(nèi)的一條直線即可，在直角三角形BAE中，通過解直角三角形求出∠BEA的大小，然后利用同位角相等直線平行得結論；
（Ⅲ）可以直接找二面角的平面角，根據(jù)側(cè)面APD⊥底面ABCD，過C作AD的垂線，再過垂足作PD的垂線，連接垂足和C，則二面角的平面角得到，然后通過解直角三角形求解，也可以利用空間直角坐標系解決．

解答：（Ⅰ）證明：
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∵側(cè)面APD⊥底面ABCD，∴AB⊥面APD．
∵PE?面APD，∴AB⊥PE．
（Ⅱ）證明：∵∠BAD=90°，AB=2

3

，AE=2，
∴∠AEB=60°．
∵∠ADC=60°，CD、BE共面，∴CD∥BE．
又CD?面PBE，BE?面PBE，
∴CD∥面PBE．
（Ⅲ）解：法一、
在面ABCD內(nèi)作CF⊥AD，垂足為F，
∵側(cè)面APD⊥底面ABCD，∴CF⊥面APD．
在面APD內(nèi)作FG⊥PD，垂足為G，連結CG，則CG⊥PD，
∴∠CGF是二面角A-PD-C的平面角．
∴FC=8sin60°=4

3

，F(xiàn)D=8cos60°=4．
∵AP⊥PD，∴AP=2FG=6，于是FG=3．
∴tan∠CGF=

FC

FG

=

4 3

3

．∴∠CGF=arctan

4 3

3

為所求．
法二、
如圖建立空間直角坐標系．

所以D（0，

7

2

，0），P（0，0，

3 7

2

），C（4

3

，

1

2

，0）

PD

=(0，

7

2

，-

3 7

2

)，

PC

=(4

3

，

1

2

，-

3 7

2

)
設平面PCD的一個法向量為

m

=(x，y，z)
由

m • PD =0 m • PC =0

，得

7 2 y- 3 7 2 z=0 4 3 x+ 1 2 y- 3 7 2 z=0

．
取x=

3

，得

m

=(

3

，3，

7

)．
平面APD的一個法向量為

n

=(1，0，0)
設所求二面角的大小為θ，
∵

m

•

n

=（

3

，3，

7

）•（1，0，0）=

3

，|

m

||

n

|=

3+9+7

=

19

，
∴cosθ=

3

19

=

57

19

．∴θ=arccos

57

19

．
∴所求二面角的大小為arccos

57

19

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，“尋找垂面，構造垂線”是找二面角的平面角的常用方法，利用空間直角坐標系求解空間角能起到事半功倍的效果，此題是中檔題．