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        1. 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1.
          (1)求函數(shù)f(x)的極大值和極小值;
          (2)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值.
          分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1先求出函數(shù)中的參數(shù)a,b的值,再令導(dǎo)數(shù)等于0,求出極值點(diǎn),判斷極值點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù),當(dāng)左正右負(fù)時(shí)有極大值,當(dāng)左負(fù)右正時(shí)有極小值.再代入原函數(shù)求出極大值和極小值.
          (2)列表比較函數(shù)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,端點(diǎn)函數(shù)值與極大值中最大的為函數(shù)的最大值,端點(diǎn)函數(shù)值與極小值中最小的為函數(shù)的最小值.
          解答:解:(1)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2-6ax+2b
          ∵函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1,∴f′(1)=0,f(1)=-1
          即3-6a+2b=0,1-3a+2b=-1,解得a=
          1
          3
          ,b=-
          1
          2

          ∴f(x)=x3-x2-x,f′(x)=3x2-2x-1
          令f′(x)=0,即3x2-2x-1=0,解得,x=-
          1
          3
          ,或x=1
          又∵當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)-
          1
          3
          <x<1時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x<-
          1
          3
          時(shí),f′(x)>0,
          ∴函數(shù)在x=-
          1
          3
          時(shí)有極大值為f(-
          1
          3
          )=
          5
          27

          函數(shù)在x=1時(shí)有極小值為f(1)=-1
          (2)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-2,2]上的f'(x)、f(x)的變化情況如下表:
           x -2 (-2,-
          1
          3
          -
          1
          3
          (-
          1
          3
          ,1)
           1  (1,2)  2
           f′(x)   +  0 -  0 +  
           f(x) -10  增  
          5
          27
           減 -1  增  2
          ∴當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)有最大值為2,當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)有最小值為-10
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,最值之間的關(guān)系,屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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