Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1先求出函數(shù)中的參數(shù)a，b的值，再令導數(shù)等于0，求出極值點，判斷極值點左右兩側導數(shù)的正負，當左正右負時有極大值，當左負右正時有極小值．再代入原函數(shù)求出極大值和極小值．
（2）列表比較函數(shù)的極值與端點函數(shù)值的大小，端點函數(shù)值與極大值中最大的為函數(shù)的最大值，端點函數(shù)值與極小值中最小的為函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx的導數(shù)為f′（x）=3x²-6ax+2b
∵函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，∴f′（1）=0，f（1）=-1
即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1
令f′（x）=0，即3x²-2x-1=0，解得，x=-

1

3

，或x=1
又∵當x＞1時，f′（x）＞0，當-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＜-

1

3

時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)在x=-

1

3

時有極大值為f（-

1

3

）=

5

27

函數(shù)在x=1時有極小值為f（1）=-1
（2）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，2]上的f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	-2	（-2，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	�。�1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-10	增	5 27	減	-1	增	2

∴當x=2時函數(shù)有最大值為2，當x=-2時，函數(shù)有最小值為-10

點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)與極值，最值之間的關系，屬于導數(shù)的應用．