Question

如圖，G是△OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P、G、Q三點(diǎn)共線．
（1）設(shè)，將用λ、、表示；
（2）設(shè)，，證明：是定值；
（3）記△OAB與△OPQ的面積分別為S、T．求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）尋找包含的圖形△OPG，利用向量的加法法則知，在根據(jù)和即可
（2）根據(jù)（1）結(jié)合，知：在根據(jù)G是△OAB的重心知：，最后根據(jù)、不共線得到關(guān)于x，y，λ的方程組即可求解
（3）根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，知=xy，由點(diǎn)P、Q的定義知，，
且時(shí)，y=1；x=1時(shí)，．此時(shí)，均有．時(shí)，．此時(shí)，均有．得到的范圍為在根據(jù)（2）知進(jìn)行作差證明即可
解答：解：（1）=
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴．②
而、不共線，∴由①、②，
得
解之，得，
∴（定值）．
（3）．
由點(diǎn)P、Q的定義知，，
且時(shí)，y=1；x=1時(shí)，．
此時(shí)，均有．時(shí)，．
此時(shí)，均有．
以下證明：．
由（2）知，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的加減法，三角形的面積公式，作差法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．