Question

設(shè)P為雙曲線x²-

y2

12

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若△PF₁F₂的面積為12，則∠F₁PF₂等于

π

2

．

Answer 1

分析：由雙曲線方程算出焦距|F₁F₂|=2

13

，根據(jù)雙曲線定義得到||PF₁|-|PF₂||=2．然后在△PF₁F₂中運(yùn)用余弦定理，得出關(guān)于|PF₁|、|PF₂|和cos∠F₁PF₂的式子；而△PF₁F₂的面積為12，得到|PF₁|、|PF₂|和sin∠F₁PF₂的另一個(gè)式子．兩式聯(lián)解即可得到∠F₁PF₂的大小．

解答：解：∵雙曲線方程為x²-

y2

12

=1，
∴c²=a²+b²=13，可得雙曲線的左焦點(diǎn)F₁（-

13

，0），右焦點(diǎn)F₂（

13

，0）
根據(jù)雙曲線的定義，得||PF₁|-|PF₂||=2a=2
∴由余弦定理，得|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|•|PF₂|
即：52=4+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|•|PF₂|，可得|PF₁|•|PF₂|=

48

2-2cos∠F1PF2

又∵△PF₁F₂的面積為12，
∴

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=12，即

24sin∠F1PF2

2-2cos∠F1PF2

=12
結(jié)合sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，
解之得sin∠F₁PF₂=1且cos∠F₁PF₂=0，
∴∠F₁PF₂等于

π

2

故答案為：

π

2

點(diǎn)評：本題給出雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂構(gòu)成的三角形面積為12，求∠F₁PF₂的大小，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．