Question

某市實(shí)行機(jī)動(dòng)車搖號(hào)購車政策，規(guī)定每年購車指標(biāo)為24萬個(gè)，設(shè)2014年初全市汽車保有量為500萬輛，假設(shè)每年淘汰的舊車為該年初汽車保有量的4%，每年新購車輛數(shù)等于該年購車指標(biāo)．
（Ⅰ）求2015年初和2016年初全市汽車保有量（萬輛）；
（Ⅱ）設(shè)2014年初的汽車保有量為a₁，n-1年后汽車保有量為an(n∈N*)，求證：數(shù)列{a_n-600}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）要想將全市每年的汽車保有量控制在550萬輛以下，是否需要調(diào)整每年的購車指標(biāo)，若不需調(diào)整，說明理由，若需調(diào)整，求出每年購車指標(biāo)的最大值（萬個(gè)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由每年年初的汽車保有量減去每年淘汰的汽車數(shù)量得答案；
（Ⅱ）由題意可知，2014年年初汽車保有量為a₁，每過一年汽車保有量為上一年的0.96倍加24，由此得到
a_n=0.96a_n-1+24，進(jìn)一步得到a_n-600=0.96（a_n-1-600），說明數(shù)列{a_n-600}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)出每年購車指標(biāo)為x萬輛，得到a_n=0.96a_n-1+x，由此推出{a_n-25x}是以a₁-25x為首項(xiàng)，0.96為公比的等比數(shù)列，求出a_n后分類討論滿足使a₁≤550成立的x的值，得到答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意2015年汽車保有量為500-500×0.04+24=504，
2016年汽車保有量為504-504×0.04+24=507.84；
（Ⅱ）根據(jù)題意有a_n=0.96a_n-1+24，
∵a_n-600=0.96a_n-1+24-600=0.96a_n-1-576=0.96（a_n-1-600），
又∵a₁-600=-100，
∴{a_n-600}是以-100為首相，公比為0.96的等比數(shù)列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，設(shè)每年購車指標(biāo)為x萬輛，則a_n=0.96a_n-1+x．
變形可得：a_n-25x=0.96（a_n-1-25x），
∴{a_n-25x}是以a₁-25x為首項(xiàng)，0.96為公比的等比數(shù)列．
∴an-25x=0.96n-1(500-25x)．
∴an=25x+0.96n-1(500-25x)．
當(dāng)500-25x≥0，即0＜x≤20時(shí)，a_n隨n增大而減小，
∵a₁≤550，∴25x＜550，即x≤20成立．
當(dāng)500-25x＜0，即x＞20時(shí)，n→+∞，a_n→25x且a_n＜25x，
∴只需25x≤550，即x≤22．
每年購車指標(biāo)調(diào)整為22萬個(gè)，汽車保有量會(huì)控制在550萬輛以下．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了極限思想在解題中的運(yùn)用，是中檔題．