Question

已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，x∈[0，π]
（I）求函數(shù)f（x）的最大值；
（II）當(dāng)函數(shù)f（x）取得最大值時，求向量

a

與

b

夾角的大�。�

Answer 1

分析：（I）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式求解f（x）=sin(2x-

π

6

)-

1

2

，結(jié)合已知x的范圍可求函數(shù)的最大值
（II）設(shè)向量

a

與

b

的夾角為α，由（I）可知x的值，代入向量夾角公式可求cosα，進(jìn)而可求夾角α

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

=-cos2x+

3

sinxcosx
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

∵x∈[0，π]當(dāng)x=

π

3

時f(x)max=1-

1

2

=

1

2

（II）此時x=

π

3

設(shè)向量

a

與

b

的夾角為α，則cosα=

a • b

| a || b |

=

1

4cosx

=

1

2

所以向量

a

與

b

的夾角為

π

3

點評：（I）輔助角公式的應(yīng)用是解決此類問題的關(guān)鍵，可以把不同名的三角函數(shù)化簡為y=Asin（ωx+φ），結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求相應(yīng)的量；（II）在利用夾角公式求解向量的夾角時要注意夾角的范圍[0，π]