Question

【題目】M是橢圓T：1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)，F是橢圓T的右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示，已知|MF|的最大值為3，且△MAF面積最大值為3．

（1）求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）求△ABM的面積的最大值S0．若點(diǎn)N（x，y）滿(mǎn)足x∈Z，y∈Z，稱(chēng)點(diǎn)N為格點(diǎn)．問(wèn)橢圓T內(nèi)部是否存在格點(diǎn)G，使得△ABG的面積S∈（6，S0）？若存在，求出G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，坐標(biāo)為（2，﹣1）

【解析】

（1）由橢圓性質(zhì)可知，由已知條件得，且的最大值為2，即b=2，結(jié)合a，b，c的關(guān)系可求出橢圓T的方程．

（2）由題知直線(xiàn)AB的方程為，設(shè)直線(xiàn)與橢圓T相切于x軸下方的點(diǎn)M0，則△ABM0的面積為△ABM的面積的最大值S0．直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立求出直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l距離為，由此能求出（2，﹣1）為所求格點(diǎn)G．

（1）由橢圓性質(zhì)可知，

其中c＞0，c2＝a2﹣b2，

因?yàn)?/span>xM∈[﹣a，a]，故|MF|∈[a﹣c，a+c]，即

又△MAF面積最大值為3．且 ，∴的最大值為2，即b=2，又b2＝a2﹣c2且

解之得

橢圓T的方程為

（2）由題知直線(xiàn)AB的方程為，

設(shè)直線(xiàn)與橢圓T相切于x軸下方的點(diǎn)M0，

則△ABM0的面積為△ABM的面積的最大值S0.

此時(shí)，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l距離為，

而

而，令，則

設(shè)直線(xiàn)到直線(xiàn)AB的距離為，

則有，解得n＝﹣2或6，

注意到l1與直線(xiàn)AB平行且l1需與橢圓T應(yīng)有公共點(diǎn)，

故只需考慮n＝﹣2的情形．

直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓T的下頂點(diǎn)B0（0，﹣2）與右頂點(diǎn)A0，

則線(xiàn)段A0B0上任意一點(diǎn)G0與A、B組成的三角形的面積為6

根據(jù)題意若存在滿(mǎn)足題意的格點(diǎn)G，則G必在直線(xiàn)A0B0與l之間．

而在橢圓內(nèi)部位于四象限的格點(diǎn)為（1，﹣1），（2，﹣1）

因?yàn)?/span>，故（1，﹣1）在直線(xiàn)A0B0上方，不符題意

而，則點(diǎn)（2，﹣1）在直線(xiàn)A0B0下方，

且，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，

所以（2，﹣1）為所求格點(diǎn)G．