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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知數列{an}的首項a1=
          2
          3
          ,an+1=
          2an
          an+1
          ,n=1,2,3,….
          (Ⅰ)證明:數列{
          1
          an
          -1}
          是等比數列;
          (Ⅱ)求數列{
          n
          an
          }
          的前n項和Sn
          (Ⅰ)由已知:an+1=
          2an
          an+1
          ,
          1
          an+1
          =
          an+1
          2an
          =
          1
          2
          +
          1
          2
          1
          an
          ,(2分)
          1
          an+1
          -1=
          1
          2
          (
          1
          an
          -1)
          ,
          a1=
          2
          3
          ,∴
          1
          a1
          -1=
          1
          2
          ,(4分)
          ∴數列{
          1
          an
          -1}
          是以
          1
          2
          為首項,
          1
          2
          為公比的等比數列.(6分)
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知
          1
          an
          -1=
          1
          2
          •(
          1
          2
          )n-1=
          1
          2n
          ,
          1
          an
          =
          1
          2n
          +1
          ,∴
          n
          an
          =
          n
          2n
          +n
          .(8分)
          Tn=
          1
          2
          +
          2
          22
          +
          3
          23
          +
          +
          n
          2n
          ,①
          1
          2
          Tn=
          1
          22
          +
          2
          23
          +
          +
          n-1
          2n
          +
          n
          2n+1
          ,②
          由①-②得:
          1
          2
          Tn=
          1
          2
          +
          1
          22
          +
          +
          1
          2n
          -
          n
          2n+1
          =
          1
          2
          (1-
          1
          2n
          )
          1-
          1
          2
          -
          n
          2n+1
          =1-
          1
          2n
          -
          n
          2n+1
          ,(10分)
          Tn=2-
          1
          2n-1
          -
          n
          2n
          .又1+2+3++n=
          n(n+1)
          2
          .(12分)
          ∴數列{
          n
          an
          }
          的前n項和:Sn=2-
          2+n
          2n
          +
          n(n+1)
          2
          =
          n2+n+4
          2
          -
          2+n
          2n
          .(14分)
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}的首項a1=
          1
          2
          ,前n項和Sn=n2an(n≥1).
          (1)求數列{an}的通項公式;
          (2)設b1=0,bn=
          Sn-1
          Sn
          (n≥2)
          ,Tn為數列{bn}的前n項和,求證:Tn
          n2
          n+1

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}的首項為a1=2,前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,當n≥2,時,an總是3Sn-4與2-
          52
          Sn-1
          的等差中項.
          (1)求數列{an}的通項公式;
          (2)設bn=(n+1)an,Tn是數列{bn}的前n項和,n∈N*,求Tn

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2013•江門一模)已知數列{an}的首項a1=1,若?n∈N*,an•an+1=-2,則an=
          1,n是正奇數
          -2,n是正偶數
          1,n是正奇數
          -2,n是正偶數

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}的首項為a1=3,通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1(n≥2).
          (1)求證:數列{
          1Sn
          }
          是等差數列;
          (2)求數列{an}的通項公式;
          (3)求數列{an}中的最大項.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}的首項a1=
          2
          3
          an+1=
          2an
          an+1
          ,n∈N+
          (Ⅰ)設bn=
          1
          an
          -1
          證明:數列{bn}是等比數列;
          (Ⅱ)數列{
          n
          bn
          }的前n項和Sn

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