Question

如圖，是拋物線的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)．

（Ⅰ）直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，求的方程；

（Ⅱ）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)記、的斜率分別為，．

（1）求證：為定值；　

（2）若點(diǎn)在線段上，且滿足

，求點(diǎn)的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

為定值．，軌跡方程為.

【解析】解：由已知得，顯然直線的斜率存在。設(shè)直線的斜率為，則的方程為

，代入拋物線方程得

⑴ 若，令，此時的方程為

即或。若，方程有唯一解，此時的方程為．

綜上，所求直線的方程為：或或．

⑵ 顯然，記，則   

，  

①

∵  ∴  即為定值．

②設(shè)動點(diǎn)，∵，        ∴ 

         ∴

令且

∴     ∴ 

綜上，點(diǎn)的軌跡方程為.